Da La Scienza per Tutti, Anno XVII, N. 46, 15 dicembre 1910.
” ■ Considerato geometricamente, l’ovale è una linea che non trova un posto in nessuna categoria di curve. Non appartiene alle sezioni coniche — circolo, ellisse, parabola, iperbole — né alle lumache — lumaca di Pascal, cardioide, lumaca senz’anello — né alle numerose spirali, né alle curve di Cassini — lemniscata, ovale di Cassini — né alle curve così dette superiori, concoide di Nicomede, cissoide di Diocle, ecc., né alle cicloidi, né alle curve trigonometriche — sinusoide, cosinusoide, asteroide, ecc., né, in breve, a nessuna categoria di curve ben definite.
■ Ed una certa imprecisione v’è anche nella parola «ovale», che, per quanto derivi da «uovo», serve comunemente a designare curve che si avvicinano bensì alla forma dell’uovo, ma che ne differiscono, matematicamente parlando, quasi sempre, e talvolta di molto.
■ Vogliamo qui trattare dell’ovale ad uovo, di quella curva cioè che, frequente in natura, riproduce perfettamente il contorno d’un uovo, e della quale nessun testo, o pochissimi ed oggi rari, ha mai trattato esaurientemente. Il lettore può cercare nelle biblioteche e dai librai anche speciali, e difficilmente riuscirà a trovare — se pur vi riuscirà — un libro che tratti di questa curva matematicamente.
Costruzione geometrica.
■ Uno dei metodi più conosciuti e più comunemente insegnati per la costruzione dell’ellisse — curva che maggiormente si avvicina nella forma all’ovale ad uovo — è quello di tracciare due circoli concentrici, di tirare da punti delle loro circonferenze delle linee radiali o vettori, poi dai punti d’intersezione di questi colle circonferenze stesse, delle parallele e delle perpendicolari, i di cui punti d’intersezione sono punti dell’ellisse. Per costruire un ovale — per brevità adottiamo questa denominazione per l’ovale ad uovo — si pensò di agire come per l’ellisse, spostando però alquanto il centro del cerchio minore al disopra o al disotto di quello del cerchio maggiore. Ma la curva ottenuta (fig. 1) aveva una base ancora troppo circolare.
■ Né migliori risultati si ottennero facendo partire i vettori dal centro del cerchio maggiore, o da un punto sito al disotto dei due centri, poichè la curva in quest’ultimo caso rassomigliava troppo ad un’ellisse, per quanto avesse una punta più aguzza dell’altra.
■ Scegliendo il centro di partenza dei vettori al disopra dei due centri dei cerchi, si otteneva (fig. 2) un ovale migliore dei precedenti, ma la di cui base era pur sempre troppo circolare.
■ Vedendo che non si ottenevano buoni risultati con due cerchi di centro differente e con un fuoco — punto dal quale partono i vettori — eccentrico, si provò a mantenere il fuoco eccentrico, tracciando però le circonferenze concentriche. I risultati furono assai migliori ma non perfetti, come si vede nella fig. 3. La vera soluzione è un’altra, e ragionata.
■ Partendo dal fatto che l’ovale ha una punta più grossa dell’altra, si venne a pensare che nella sua costruzione dovesse entrare il triangolo, figura piana con caratteristiche eguali. Il metodo rappresentato nella fig. 4 è il vero metodo per ottenere un ovale perfetto, col solo aiuto di due compassi, d’un regolo e di una matita.
■ Facendo centro in O, tracciate un circolo, il di cui diametro AOB è eguale all’asse maggiore (da una punta all’altra) C’D’ dell’ovale desiderato. Sul diametro del cerchio, tracciate un triangolo isoscele FAB, e la sua altezza FC.
■ Sul semicerchio sotto la base del triangolo, scegliete dei punti qualunque (a’, ecc.), che saranno necessariamente equidistanti. Congiungete il vertice del triangolo con ciascuno di questi punti per mezzo di rette (Fa’, ecc.). Tirate le tangenti FT, FT. Collegate i due lati eguali del triangolo con una retta A’O’B’, parallela alla base, ed eguale in lunghezza all’asse minore dell’ovale. Prendete col compasso la misura AA’ sulla retta AF. Facendo poi centro in ogni punto d’intersezione del cerchio coi vettori e coi diametri, riportate la lunghezza AA’ sulle rette tracciate da F. I punti così trovati sono tutti punti dell’ovale.
■ Le proporzioni della curva dipendono dalla sua posizione nel triangolo. Avvicinando i punti C e C’, diviene più grosso e più schiacciato alla base; quando C e C’ coincidono, l’ovale diventa un circolo. Avvicinando invece il punto D’ al fuoco F, l’ovale si restringe sempre più fino a divenire un nodo ovale quando F coincide con D’.
■ Lasciando invariato il circolo d’origine, ma prolungando le rette radiali al disopra del vertice o al disotto della base del triangolo, si ottengono degli ovali di curiosissime forme. Se i vettori vengono tirati al di là del fuoco F, e se si prende una lunghezza maggiore di FD, ma minore di FC per trovare i punti sul cerchio, la figura che si ottiene è una lemniscata. Se la lunghezza che si prende è maggiore di FC, si ottiene un ovale rovescio, il di cui asse piccolo starà al posto di quello grande, e così via.
■ L’ovale si può dunque definire come «il luogo geometrico di un punto P che giace su una retta tirata da un punto fisso detto fuoco F ad un punto P’ che si muove lungo una circonferenza, la distanza PP’ rimanendo sempre costante».
■ Il punto O’ d’intersezione dei due assi dell’ovale è veramente il suo centro; e lo si trova riportando la lunghezza PP’ da A e da B e congiungendo i punti A’ e B’ così ottenuti, con una retta il di cui punto d’intersezione coll’altezza del triangolo, FC, è il centro dell’ovale.
■ Ambedue le tangenti tratteggiate in figura lo sono a qualsiasi ovale costruito nel triangolo dalla stessa origine.
■ La distanza PP’ può essere qualunque, ma non maggiore di FD. In tal ultimo caso, la figura che si ottiene è una lemniscata.
Equazione analitica della curva.
■ Siano dati i punti F ed O fissi (fig. 5): trovare l’equazione della curva descritta da P, PP’ essendo costante e P’ muovendosi lungo una circonferenza. P è la retta FP’.
■ Se il cono è tagliato da un piano, abbiamo un cerchio od una ellisse. L’ovale è la sezione prodotta nel cono da una superficie curva, come si vede chiaramente nella fig. 6. L’ovale ABCD è tracciato dalla sezione di un cono tagliato da una retta parallela alla base in ogni punto, e che si muove lungo una curva D”A”C”. Se ne vedono tre proiezioni; D”A”C” è visto dalla parte B. A”‘D”‘B”‘ è visto dalla parte D; A4C4B4 è visto dal lato C.”